Қазақстанның мұнай-газ саласының хабаршысы

2707-42262957-806X

KMG Engineering

109025

10.54859/kjogi109025

Ғылыми мақала

Мұнай төгінділерін болжау міндеттеріне арналған жел әсерінен туындайтын теңіз ағыстарын GPU көмегімен параллель есептеу

Құдайқұлов

А. А.

PhDaziz.kudaikulov@gmail.comhttps://orcid.org/0000-0002-4389-4097Аманжолов

Т. Е.

tannur.amanzholov@gmail.comhttps://orcid.org/0000-0001-7386-9717Әлиұлы

А.

aliulyabdurashid@gmail.comhttps://orcid.org/0000-0001-6845-6571Сейтов

А. Н.

seitovabzal9@gmail.comhttps://orcid.org/0000-0002-7317-3047Асылбеков

Б. К.

PhDassilbekov.b@gmail.comhttps://orcid.org/0000-0002-0368-0131Құлжабеков

Ә. Б.

PhDalibek.kuljabekov@gmail.comhttps://orcid.org/0000-0003-4384-6463Шабилов

С. М.

sshabilov@gmail.comhttps://orcid.org/0009-0002-3467-5842Байымбетов

Д. Б.

PhDd2.baimbetov@yu.edu.kzhttps://orcid.org/0000-0002-4992-0890Сырлыбекқызы

С.

PhD, ассоциированный профессорsamal.syrlybekkyzy@yuedu.kzhttps://orcid.org/0000-0002-0260-0611Қалтаев

А. Ж.

докт. физ.-мат. наук, профессорaidarkhankaltayev@gmail.comhttps://orcid.org/0000-0003-2180-2785

Қ.И. Сәтбаев атындағы ҚазҰТЗУӘл-Фараби атындағы ҚазҰУИоносфера институтыЖ.А. Тәшенев атындағы университетШ. Есенов атындағы Каспий технологиялар және инжиниринг университеті

30092026

83141152

28072026

09092026

2026

Негіздеу. Қазақстан Орталық Азиядағы ірі мұнай өндірушілердің бірі болып табылады және мұнай-газ жобаларының едәуір бөлігі Каспий өңірімен байланысты (бірінші кезекте, бұл Қашағандағы Солтүстік Каспий жобасы, Теңіз кен орны және Ақтау порт инфрақұрылымы). Теңіз акваториясындағы мұнай төгінділері экологияға орасан зор қауіп төндіреді, сондықтан олардың таралуын болжаудың тиімді құралдарын әзірлеу талап етіледі. Мақсаты. Мұнай төгінділерін болжау міндеттеріне арналған жел әсерінен туындайтын теңіз ағыстарын модельдеудің параллель алгоритмдерін графикалық процессорларда (GPU, ағыл. Graphics Processing Unit) әзірлеу және тестілеу. Материалдар мен әдістер. Турбулентті тұтқырлықты параметрлейтін үш өлшемді гидродинамикалық модельдер қолданылады. Сандық схемалар айқын және жасырын түрде жүзеге асырылып, OpenCL (ағыл. Open Computing Language – ашық есептеулер тілі) кітапханасын қолдану арқылы x және y координаттары бойынша параллельдендірілді. Есептеулер біркелкі және біркелкі емес торлар үшін CPU (English Central Processing Unit) және GPU-да орындалады. Нәтижелерi. GPU пайдалану есептеулердің айтарлықтай үдеуін қамтамасыз ететіні көрсетілген: біркелкі торда 23 есеге дейін және біркелкі емес торда 13 есеге дейін. 40 түйіні бар біркелкі емес тордағы есептеулердің дәлдігі 500 түйіні бар біркелкі тордағы нәтижелермен салыстырылады. Қорытынды. GPU-дағы параллель алгоритмдер есептеулердің жоғары дәлдігін сақтай отырып, жел ағындарын модельдеу уақытын едәуір қысқартуға мүмкіндік береді. Осыған байланысты олар Каспий теңізіндегі мұнай төгінділерінің таралуын болжаудың перспективалы құралы болып табылады.

GPUOpenCLparallel computingwind velocity fieldsea currents

GPUOpenCLпараллель есептеулержел жылдамдықтарының өрісітеңіз ағыстары

GPUOpenCLпараллельные вычисленияполе скоростей ветраморские течения

<h3>Введение</h3> Каспийский регион является зоной активной добычи углеводородов, где оперативный мониторинг течений имеет критическое значение для экологической безопасности. К наиболее важным морским месторождениям относятся Кашаган, Кайран и Актоты, входящие в Северо-Каспийский проект. Разведка, добыча и транспортировка нефти в морской акватории неизбежно сопровождаются риском аварийных выбросов и загрязнения морской среды [1, 2]. По этой причине требуются инструменты, позволяющие заранее прогнозировать направление распространения нефти, скорость её перемещения, площадь загрязнения и потенциальное воздействие на береговую линию и морскую экосистему. Если спутниковое зондирование обеспечивает фиксацию имеющегося нефтяного пятна, то численное моделирование выступает его необходимым прогностическим дополнением, позволяющим непрерывно рассчитывать дальнейший перенос и трансформацию разлива. Одним из ключевых этапов моделирования распространения разлитой нефти по поверхности моря является расчёт морских течений, вызванных ветровым воздействием. Для решения этой задачи были разработаны различные модели, различающиеся по уровню сложности. В работах [3–5] была предложена гидродинамическая модель однородной жидкости с упрощенным представлением турбулентности, основанным на постоянной турбулентной вязкости. Позже в исследованиях [6–8] этот подход был расширен за счёт включения эффектов стратификации плотности и температуры, а также адвекции, что сделало модель нелинейной, однако процедура решения осталась по существу той же, что и в работе [3]. В работах [9, 10] детально рассматривалось взаимодействие морского льда и атмосферы с морем с целью исследования сезонной циркуляции и изменчивости водных масс Каспийского моря под воздействием реалистичных потоков массы, импульса и тепла. В этих моделях речной сток, осадки, радиационный поток и ветровое напряжение задавались с учётом сезонной изменчивости на основе доступных наборов данных. Кроме того, интенсивность испарения, поток явного и скрытого тепла на поверхности моря рассчитывались в ходе моделирования с использованием подмодели атмосферного пограничного слоя на основе атмосферных данных реанализа ECMWF ERA-15<a href="#_ftn1" name="_ftnref1">[1]</a> и рассчитанной модели температуры поверхности моря. Во всех вышеупомянутых работах использовались упрощённые модели турбулентности, в которых турбулентная вязкость задавалась параметрически. Вместе с тем существуют исследования, в которых применяются более совершенные модели турбулентности. Например, в работах [11–13] использовалась модель рейнольдсовых напряжений, требующая решения значительно большего числа уравнений. Однако, поскольку зависимости для определения турбулентной вязкости хорошо апробированы для широкого диапазона условий, на практике зачастую целесообразнее применять простые модели турбулентной вязкости, а не более сложные подходы, такие как модели рейнольдсовых напряжений. Кроме того, все вышеупомянутые модели являются трёхмерными и поэтому требуют значительных вычислительных затрат и ресурсов [14, 15]. Например, в работе [15] расчёты выполнялись на сетке размером 426 × 238 × 100 узлов, что соответствует более чем 10 млн расчётных точек. Как правило, такие задачи решаются на вычислительных кластерах с большим числом процессоров и использованием параллельных алгоритмов. В настоящем исследовании представлены параллельные алгоритмы решения вышеупомянутых моделей на графических процессорах с применением библиотеки OpenCL [16]. Результаты вычислений показывают, что может быть достигнуто значительное ускорение, поскольку данные модели хорошо подходят для распараллеливания. Научная новизна и практическая значимость работы заключаются в разработке параллельного OpenCL-алгоритма трёхмерной гидродинамики для графических процессоров (GPU) на вертикально-неравномерной σ-сетке (Nz=40). В отличие от большинства существующих гидродинамических комплексов [14–15], ориентированных на использование дорогостоящих и труднодоступных суперкомпьютерных кластеров (Message Passing Interface / Open Multi-Processing), предложенный подход позволяет выполнять оперативные 3D-расчёты динамики вод на относительно недорогом и доступном оборудовании (включая персональные рабочие станции с GPU). Цель настоящей работы – разработать и реализовать параллельные алгоритмы для трёхмерного моделирования ветровых морских течений на графических процессорах с использованием OpenCL, обеспечивающие существенное сокращение времени расчётов при сохранении приемлемой точности для задач оперативного прогнозирования нефтяных разливов. <h3>Материалы и методы</h3> Согласно работе [3], линейные трёхмерные уравнения гидродинамики в декартовой системе координат записываются в следующем виде: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mi>ζ</mi></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>t</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mo>−</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mfenced><mrow><mi>h</mi><mover accent="true"><mi>u</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mfenced></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mfenced><mrow><mi>h</mi><mover accent="true"><mi>v</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mfenced></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>y</mi></mrow></mfrac></math>(1) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mover accent="true"><mi>u</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>t</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi>f</mi><mover accent="true"><mi>v</mi><mo>¯</mo></mover><mo>−</mo><mi>g</mi><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mi>ζ</mi></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msubsup><mi>τ</mi><mi>x</mi><mi>h</mi></msubsup><mrow><mi>ρ</mi><mi>h</mi></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msubsup><mi>τ</mi><mi>x</mi><mi>s</mi></msubsup><mrow><mi>ρ</mi><mi>h</mi></mrow></mfrac></math>(2) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mover accent="true"><mi>v</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>t</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>f</mi><mover accent="true"><mi>u</mi><mo>¯</mo></mover><mo>−</mo><mi>g</mi><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mi>ζ</mi></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>y</mi></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msubsup><mi>τ</mi><mi>y</mi><mi>h</mi></msubsup><mrow><mi>ρ</mi><mi>h</mi></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msubsup><mi>τ</mi><mi>y</mi><mi>s</mi></msubsup><mrow><mi>ρ</mi><mi>h</mi></mrow></mfrac></math>(3) где t – время, сек; x, y, z образуют левостороннюю декартову систему координат, координата z представляет собой глубину ниже невозмущённой поверхности; h – глубина воды, м; ζ – отметка свободной поверхности, метры; ӣ, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent="true"><mi>v</mi><mo>¯</mo></mover></math>обозначают усреднённые по глубине компоненты скорости течения в направлениях x и y, соответственно: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent="true"><mi>u</mi><mo>¯</mo></mover><mo>=</mo><munderover><mrow></mrow><mn>0</mn><mn>1</mn></munderover><mi>u</mi><mi>d</mi><mi>σ</mi><mo>,</mo><mo></mo><mo></mo><mover accent="true"><mi>v</mi><mo>¯</mo></mover><mo>=</mo><munderover><mrow></mrow><mn>0</mn><mn>1</mn></munderover><mi>v</mi><mi>d</mi><mi>σ</mi></math>(4) где – безразмерная величина (5): <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>σ</mi><mo>=</mo><mi>z</mi><mo>/</mo><mi>h</mi></math> (5) Основные положения, рассмотренные выше, представлены на рис. 1: <center> <div class="preview fancybox" style="text-align: center;"><a title="Рисунок 1. Система координат сигма" href="/files/journals/130/articles/109025/supp/109025-229789-1-SP.jpg" rel="simplebox"><img style="max-height: 300px; max-width: 300px;" src="/files/journals/130/articles/109025/supp/109025-229789-1-SP.jpg"></a></div> </center> Рисунок 1. Система координат сигма Figure 1. Sigma coordinate system В дополнение к приведенным выше уравнениям ниже представлены уравнения для отклонений u' и v', которые используются для получения полных компонент скорости u и v: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>u</mi><mo>=</mo><mover accent="true"><mi>u</mi><mo>¯</mo></mover><mo>+</mo><mi>u</mi><mo>'</mo><mo>,</mo><mtext> </mtext><mi>v</mi><mo>=</mo><mover accent="true"><mi>v</mi><mo>¯</mo></mover><mo>+</mo><mi>v</mi><mo>'</mo></math>(6) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mi>u</mi><mo>'</mo></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>t</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi>f</mi><mi>v</mi><mo>'</mo><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup></mfrac><mfrac><mo>∂</mo><mrow><mo>∂</mo><mi>σ</mi></mrow></mfrac><mfenced><mrow><mi>μ</mi><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mi>u</mi><mo>'</mo></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>σ</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mo>+</mo><mfrac><msubsup><mi>τ</mi><mi>x</mi><mi>h</mi></msubsup><mrow><mi>ρ</mi><mi>h</mi></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msubsup><mi>τ</mi><mi>x</mi><mi>s</mi></msubsup><mrow><mi>ρ</mi><mi>h</mi></mrow></mfrac></math>(7) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mi>v</mi><mo>'</mo></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>t</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>f</mi><mi>u</mi><mo>'</mo><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup></mfrac><mfrac><mo>∂</mo><mrow><mo>∂</mo><mi>σ</mi></mrow></mfrac><mfenced><mrow><mi>μ</mi><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mi>v</mi><mo>'</mo></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>σ</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mo>+</mo><mfrac><msubsup><mi>τ</mi><mi>y</mi><mi>h</mi></msubsup><mrow><mi>ρ</mi><mi>h</mi></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msubsup><mi>τ</mi><mi>y</mi><mi>s</mi></msubsup><mrow><mi>ρ</mi><mi>h</mi></mrow></mfrac></math>(8) где μ – коэффициент вертикальной вихревой кинематической вязкости, м²/с; g – ускорение свободного падения, м²/с; – параметр Кориолиса, с⁻¹; ρ – плотность, кг/м³; <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>τ</mi><mi>x</mi><mi>s</mi></msubsup></math>и <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>τ</mi><mi>y</mi><mi>s</mi></msubsup><mo></mo></math>– компоненты ветровой нагрузки, Н/м² (9): <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>τ</mi><mi>x</mi><mi>s</mi></msubsup><mo>=</mo><mo>−</mo><mfrac><mi>ρ</mi><mi>h</mi></mfrac><msub><mfenced><mrow><mi>μ</mi><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mi>u</mi></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>σ</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mn>0</mn></msub><mo>,</mo><mo></mo><mo></mo><msubsup><mi>τ</mi><mi>y</mi><mi>s</mi></msubsup><mo>=</mo><mo>−</mo><mfrac><mi>ρ</mi><mi>h</mi></mfrac><msub><mfenced><mrow><mi>μ</mi><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mi>v</mi></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>σ</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mn>0</mn></msub></math> (9) Аналогично на морском дне σ, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>τ</mi><mi>x</mi><mi>h</mi></msubsup></math>и <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>τ</mi><mi>y</mi><mi>h</mi></msubsup></math>обозначают компоненты придонного напряжения: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>τ</mi><mi>x</mi><mi>h</mi></msubsup><mo>=</mo><mo>−</mo><mfrac><mi>ρ</mi><mi>h</mi></mfrac><msub><mfenced><mrow><mi>μ</mi><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mi>u</mi></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>σ</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mn>1</mn></msub><mo>,</mo><mo></mo><mo></mo><msubsup><mi>τ</mi><mi>y</mi><mi>h</mi></msubsup><mo>=</mo><mo>−</mo><mfrac><mi>ρ</mi><mi>h</mi></mfrac><msub><mfenced><mrow><mi>μ</mi><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mi>v</mi></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>σ</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mn>1</mn></msub></math> (10) В описанной далее модели компоненты ветрового напряжения <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>τ</mi><mi>x</mi><mi>s</mi></msubsup></math>и <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>τ</mi><mi>y</mi><mi>s</mi></msubsup></math>предопределены и был использован линейный закон донного напряжения: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>τ</mi><mi>x</mi><mi>h</mi></msubsup><mo>=</mo><mi>k</mi><mi>ρ</mi><msub><mi>u</mi><mi>h</mi></msub><mo>,</mo><mtext> </mtext><msubsup><mi>τ</mi><mi>y</mi><mi>h</mi></msubsup><mo>=</mo><mi>k</mi><mi>ρ</mi><msub><mi>v</mi><mi>h</mi></msub></math>(11) где k – коэффициент трения дна; uh и vh – компоненты течения на глубине h. Верхние граничные условия задаются на поверхности моря σ = 0 (12): <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mi>ρ</mi><mi>h</mi></mfrac><msub><mfenced><mrow><mi>μ</mi><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msup><mi>u</mi><mo>'</mo></msup></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>σ</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><mo>−</mo><msubsup><mi>τ</mi><mi>x</mi><mi>s</mi></msubsup><mo>,</mo><mo></mo><mo></mo><mfrac><mi>ρ</mi><mi>h</mi></mfrac><msub><mfenced><mrow><mi>μ</mi><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mi>v</mi><mo>'</mo></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>σ</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><mo>−</mo><msubsup><mi>τ</mi><mi>y</mi><mi>s</mi></msubsup></math>(12) где компоненты ветрового напряжения <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>τ</mi><mi>x</mi><mi>s</mi></msubsup></math>и <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>τ</mi><mi>y</mi><mi>s</mi></msubsup></math>задаются заранее. На морском дне при σ = 0 соответствующие граничные условия имеют вид (13): <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>τ</mi><mi>x</mi><mi>h</mi></msubsup><mo>=</mo><mo>−</mo><mfrac><mi>ρ</mi><mi>h</mi></mfrac><msub><mfenced><mrow><mi>μ</mi><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msup><mi>u</mi><mo>'</mo></msup></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>σ</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mn>1</mn></msub><mo></mo><mo>=</mo><mi>k</mi><mi>ρ</mi><msub><mi>u</mi><mi>h</mi></msub><mo>,</mo><mo></mo><msubsup><mi>τ</mi><mi>y</mi><mi>h</mi></msubsup><mo>=</mo><mo>−</mo><mfrac><mi>ρ</mi><mi>h</mi></mfrac><msub><mfenced><mrow><mi>μ</mi><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mi>v</mi><mo>'</mo></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>σ</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mi>k</mi><mi>ρ</mi><msub><mi>v</mi><mi>h</mi></msub></math> (13) На боковых границах задаются периодические граничные условия (14)–(16): <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>z</mi><mfenced><mrow><mn>0,</mn><mi>y</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>z</mi><mfenced><mrow><mi>L</mi><mo>,</mo><mi>y</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mtext> </mtext><mi>z</mi><mfenced><mrow><mi>x</mi><mn>,0</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>z</mi><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>W</mi></mrow></mfenced></math>(14) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent="true"><mi>u</mi><mo>¯</mo></mover><mfenced><mrow><mn>0,</mn><mi>y</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mover accent="true"><mi>u</mi><mo>¯</mo></mover><mfenced><mrow><mi>L</mi><mo>,</mo><mi>y</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mtext> </mtext><mover accent="true"><mi>u</mi><mo>¯</mo></mover><mfenced><mrow><mi>x</mi><mn>,0</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mover accent="true"><mi>u</mi><mo>¯</mo></mover><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>W</mi></mrow></mfenced></math>(15) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover accent="true"><mi>v</mi><mo>¯</mo></mover><mfenced><mrow><mn>0,</mn><mi>y</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mover accent="true"><mi>v</mi><mo>¯</mo></mover><mfenced><mrow><mi>L</mi><mo>,</mo><mi>y</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mtext> </mtext><mover accent="true"><mi>v</mi><mo>¯</mo></mover><mfenced><mrow><mi>x</mi><mn>,0</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mover accent="true"><mi>v</mi><mo>¯</mo></mover><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>W</mi></mrow></mfenced></math>(16) где L и W – длина и ширина расчётной области соответственно, ориентированной вдоль пространственных координат x и y соответственно. В вертикальном направлении используется разнесённая конечно-разностная сетка: точки μ располагаются в граничных и внутренних узлах стандартной сетки, тогда как точки u и v размещаются посередине между соседними точками μ. Точки ζ расположены на верхней границе расчётной области (рис. 2). <center> <div class="preview fancybox" style="text-align: center;"><a title="Рисунок 2. Разнесённая сетка" href="/files/journals/130/articles/109025/supp/109025-229790-1-SP.jpg" rel="simplebox"><img style="max-height: 300px; max-width: 300px;" src="/files/journals/130/articles/109025/supp/109025-229790-1-SP.jpg"></a></div> </center> Рисунок 2. Разнесённая сетка Figure 2. Staggered grid В данном разделе приводится краткое описание конечно-разностной сетки, используемой в модели. Уравнения (1)–(3) дискретизируются следующим образом (17)–(19): <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mover accent="true"><mi>u</mi><mo>¯</mo></mover><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>=</mo><msubsup><mover accent="true"><mi>u</mi><mo>¯</mo></mover><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mi>n</mi></msubsup><mo>+</mo><mi>f</mi><msubsup><mover accent="true"><mi>v</mi><mo>¯</mo></mover><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mi>n</mi></msubsup><mo>△</mo><mi>t</mi><mo>−</mo><mi>g</mi><mo>△</mo><mi>t</mi><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msubsup><mi>ζ</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mi>n</mi></msubsup></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msubsup><mi>τ</mi><mi>x</mi><mi>h</mi></msubsup><mrow><mi>ρ</mi><mi>h</mi></mrow></mfrac><mo>△</mo><mi>t</mi><mo>+</mo><mfrac><msubsup><mi>τ</mi><mi>x</mi><mi>s</mi></msubsup><mrow><mi>ρ</mi><mi>h</mi></mrow></mfrac><mo>△</mo><mi>t</mi></math>(17) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mover accent="true"><mi>v</mi><mo>¯</mo></mover><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>=</mo><msubsup><mover accent="true"><mi>v</mi><mo>¯</mo></mover><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mi>n</mi></msubsup><mo>−</mo><mi>f</mi><msubsup><mover accent="true"><mi>u</mi><mo>¯</mo></mover><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mi>n</mi></msubsup><mo>△</mo><mi>t</mi><mo>−</mo><mi>g</mi><mo>△</mo><mi>t</mi><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msubsup><mi>ζ</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mi>n</mi></msubsup></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>y</mi></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><msubsup><mi>τ</mi><mi>y</mi><mi>h</mi></msubsup><mrow><mi>ρ</mi><mi>h</mi></mrow></mfrac><mo>△</mo><mi>t</mi><mo>+</mo><mfrac><msubsup><mi>τ</mi><mi>y</mi><mi>s</mi></msubsup><mrow><mi>ρ</mi><mi>h</mi></mrow></mfrac><mo>△</mo><mi>t</mi></math>(18) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>ζ</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>=</mo><msubsup><mi>ζ</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mi>n</mi></msubsup><mo>−</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msubsup><mfenced><mrow><mi>h</mi><mover accent="true"><mi>u</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mfenced><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>△</mo><mi>t</mi><mo>−</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msubsup><mfenced><mrow><mi>h</mi><mover accent="true"><mi>v</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mfenced><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>y</mi></mrow></mfrac><mo>△</mo><mi>t</mi></math>(19) Подставляя значения <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mover accent="true"><mi>u</mi><mo>¯</mo></mover><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mtext> </mtext><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup></math>и <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mover accent="true"><mi>v</mi><mo>¯</mo></mover><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mtext> </mtext><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup></math>, определяемые выражениями (17)–(18), в уравнение (19), получаем: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>ζ</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>=</mo><msubsup><mi>ζ</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mi>n</mi></msubsup><mo>+</mo><mi>g</mi><mi>h</mi><mo>△</mo><msup><mi>t</mi><mn>2</mn></msup><mfenced open="[" close="]"><mrow><mfrac><mrow><msup><mo>∂</mo><mn>2</mn></msup><msubsup><mi>ζ</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mi>n</mi></msubsup></mrow><mrow><mo>∂</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><msup><mo>∂</mo><mn>2</mn></msup><msubsup><mi>ζ</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mi>n</mi></msubsup></mrow><mrow><mo>∂</mo><msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mo>+</mo><msub><mi>S</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math> (20) Шаг по времени ∆t=τg в уравнении (20) определяется из условия устойчивости (21): <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>τ</mi><mi>g</mi></msub><mo></mo><mfrac><mrow><mo>△</mo><mi>s</mi></mrow><msqrt><mn>2</mn><mi>g</mi><mi>h</mi></msqrt></mfrac><mo>,</mo></math><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>△</mo><mi>s</mi><mo>=</mo><mi>m</mi><mi>i</mi><mi>n</mi><mfenced><mrow><mo>△</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mo>△</mo><mi>y</mi></mrow></mfenced></math> (21) При глубине моря h=100 м и шаге сетки ∆s=1000 м, из уравнения (21) следует, что <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>τ</mi><mi>g</mi></msub><mo>~</mo><mn>1</mn><mtext> </mtext><mi>мин</mi></math>. Подставляя значение <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>ζ</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup></math>определяемое выражением (20), в уравнение (17), получаем (22): <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mover accent="true"><mi>u</mi><mo>¯</mo></mover><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>=</mo><msubsup><mover accent="true"><mi>u</mi><mo>¯</mo></mover><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mi>n</mi></msubsup><mo>−</mo><msup><mi>f</mi><mn>2</mn></msup><mo>△</mo><msup><mi>t</mi><mn>2</mn></msup><msubsup><mover accent="true"><mi>u</mi><mo>¯</mo></mover><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mi>n</mi></msubsup><mo>+</mo><msub><mi>R</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></math> (22) Шаг по времени ∆t=τf в уравнении (22) определяется из условия устойчивости при <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>=</mo><mn>1.2</mn><mo>×</mo><msup><mn>10</mn><mrow><mo>−</mo><mn>4</mn></mrow></msup><mo></mo><msup><mi>с</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></math>(23): <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>τ</mi><mi>f</mi></msub><mo></mo><mfrac><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mi>f</mi></mfrac><mo>≈</mo><mn>1</mn><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">ч</mi></math> (23) Уравнения (7)–(8) дискретизируются следующим образом (24)–(25): <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msubsup><mi>u</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>=</mo><msubsup><mi>u</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup><mo>+</mo><mi>f</mi><msubsup><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup><mi>Δ</mi><mi>t</mi><mo>+</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>Δ</mi><mi>t</mi></mrow><mrow><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mi>k</mi></msub></mrow></mfrac><mfenced open="[" close="]"><mrow><mfrac><mrow><msubsup><mi>μ</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mi>n</mi></msubsup><mfenced><mrow><msubsup><mi>u</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>−</mo><msubsup><mi>u</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mi>k</mi></msub></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><msubsup><mi>μ</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mi>n</mi></msubsup><mfenced><mrow><msubsup><mi>u</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>−</mo><msubsup><mi>u</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mi>k</mi></msub><mo>+</mo><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mo>+</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>Δ</mi><mi>t</mi></mrow><mrow><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mi>k</mi></msub></mrow></mfrac><mfenced open="[" close="]"><mrow><mfrac><mrow><msubsup><mi>μ</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mi>n</mi></msubsup><mfenced><mrow><msubsup><mi>u</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup><mo>−</mo><msubsup><mi>u</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mi>k</mi></msub></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><msubsup><mi>μ</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mi>n</mi></msubsup><mfenced><mrow><msubsup><mi>u</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup><mo>−</mo><msubsup><mi>u</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mi>k</mi></msub><mo>+</mo><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mo>+</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>k</mi><msubsup><mi>u</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><msub><mi>N</mi><mi>Z</mi></msub><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mi>n</mi></msubsup></mrow><msub><mi>h</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></mfrac><mi>Δ</mi><mi>t</mi><mo>−</mo><mfrac><msubsup><mi>τ</mi><mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>s</mi><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><mi>ρ</mi><msub><mi>h</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mi>Δ</mi><mi>t</mi></mtd></mtr></mtable></math>(24) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msubsup><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>=</mo><msubsup><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup><mo>−</mo><mi>f</mi><msubsup><mi>u</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup><mi>Δ</mi><mi>t</mi><mo>+</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>Δ</mi><mi>t</mi></mrow><mrow><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mi>k</mi></msub></mrow></mfrac><mfenced open="[" close="]"><mrow><mfrac><mrow><msubsup><mi>μ</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mi>n</mi></msubsup><mfenced><mrow><msubsup><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>−</mo><msubsup><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mi>k</mi></msub></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><msubsup><mi>μ</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mi>n</mi></msubsup><mfenced><mrow><msubsup><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>−</mo><msubsup><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mi>k</mi></msub><mo>+</mo><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mo>+</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>Δ</mi><mi>t</mi></mrow><mrow><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mi>k</mi></msub></mrow></mfrac><mfenced open="[" close="]"><mrow><mfrac><mrow><msubsup><mi>μ</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mi>n</mi></msubsup><mfenced><mrow><msubsup><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup><mo>−</mo><msubsup><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mi>k</mi></msub></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><msubsup><mi>μ</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mi>n</mi></msubsup><mfenced><mrow><msubsup><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup><mo>−</mo><msubsup><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mi>k</mi></msub><mo>+</mo><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mo>+</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>k</mi><msubsup><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><msub><mi>N</mi><mi>Z</mi></msub><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mi>n</mi></msubsup></mrow><msub><mi>h</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></mfrac><mi>Δ</mi><mi>t</mi><mo>−</mo><mfrac><msubsup><mi>τ</mi><mrow><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>s</mi><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><mi>ρ</mi><msub><mi>h</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mi>Δ</mi><mi>t</mi></mtd></mtr></mtable></math>(25) Уравнения (24)–(25) приводятся к трёхдиагональной системе линейных алгебраических уравнений (далее – СЛАУ) следующим образом (26)–(27): <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mo>−</mo><mfrac><msubsup><mi>μ</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mi>n</mi></msubsup><mrow><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mi>k</mi></msub></mrow></mfrac><mfrac><mrow><mi>Δ</mi><mi>t</mi></mrow><mrow><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mi>k</mi></msub></mrow></mfrac><msubsup><mi>u</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><mfenced open="[" close="]"><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>Δ</mi><mi>t</mi></mrow><mrow><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mi>k</mi></msub></mrow></mfrac><mfenced><mrow><mfrac><msubsup><mi>μ</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mi>n</mi></msubsup><mrow><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mi>k</mi></msub></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msubsup><mi>μ</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mi>n</mi></msubsup><mrow><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mi>k</mi></msub><mo>+</mo><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow></mfenced><msubsup><mi>u</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>−</mo><mfrac><msubsup><mi>μ</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mi>n</mi></msubsup><mrow><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mi>k</mi></msub><mo>+</mo><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mfrac><mrow><mi>Δ</mi><mi>t</mi></mrow><mrow><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mi>k</mi></msub></mrow></mfrac><msubsup><mi>u</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>=</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo><msubsup><mi>u</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup><mo>+</mo><mi>f</mi><msubsup><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup><mi>Δ</mi><mi>t</mi><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>Δ</mi><mi>t</mi></mrow><mrow><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mi>k</mi></msub></mrow></mfrac><mfenced open="[" close="]"><mrow><mfrac><mrow><msubsup><mi>μ</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mi>n</mi></msubsup><mfenced><mrow><msubsup><mi>u</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup><mo>−</mo><msubsup><mi>u</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mi>k</mi></msub></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><msubsup><mi>μ</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mi>n</mi></msubsup><mfenced><mrow><msubsup><mi>u</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup><mo>−</mo><msubsup><mi>u</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mi>k</mi></msub><mo>+</mo><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>k</mi><msubsup><mi>u</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><msub><mi>N</mi><mi>z</mi></msub><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mi>n</mi></msubsup></mrow><msub><mi>h</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></mfrac><mi>Δ</mi><mi>t</mi><mo>−</mo><mfrac><msubsup><mi>τ</mi><mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>s</mi><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><mi>ρ</mi><msub><mi>h</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mi>Δ</mi><mi>t</mi></mtd></mtr></mtable></math>(26) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mo>−</mo><mfrac><msubsup><mi>μ</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mi>n</mi></msubsup><mrow><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mi>k</mi></msub></mrow></mfrac><mfrac><mrow><mi>Δ</mi><mi>t</mi></mrow><mrow><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mi>k</mi></msub></mrow></mfrac><msubsup><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><mfenced open="[" close="]"><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>Δ</mi><mi>t</mi></mrow><mrow><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mi>k</mi></msub></mrow></mfrac><mfenced><mrow><mfrac><msubsup><mi>μ</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mi>n</mi></msubsup><mrow><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mi>k</mi></msub></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><msubsup><mi>μ</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mi>n</mi></msubsup><mrow><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mi>k</mi></msub><mo>+</mo><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow></mfenced><msubsup><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>−</mo><mfrac><msubsup><mi>μ</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mi>n</mi></msubsup><mrow><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mi>k</mi></msub><mo>+</mo><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mfrac><mrow><mi>Δ</mi><mi>t</mi></mrow><mrow><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mi>k</mi></msub></mrow></mfrac><msubsup><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>=</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo><msubsup><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup><mo>−</mo><mi>f</mi><msubsup><mi>u</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup><mi>Δ</mi><mi>t</mi><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>Δ</mi><mi>t</mi></mrow><mrow><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mi>k</mi></msub></mrow></mfrac><mfenced open="[" close="]"><mrow><mfrac><mrow><msubsup><mi>μ</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mi>n</mi></msubsup><mfenced><mrow><msubsup><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup><mo>−</mo><msubsup><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mi>k</mi></msub></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><msubsup><mi>μ</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mi>n</mi></msubsup><mfenced><mrow><msubsup><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup><mo>−</mo><msubsup><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mo>'</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mi>k</mi></msub><mo>+</mo><mi>Δ</mi><msub><mi>σ</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>k</mi><msubsup><mi>v</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><msub><mi>N</mi><mi>z</mi></msub><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mi>n</mi></msubsup></mrow><msub><mi>h</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></mfrac><mi>Δ</mi><mi>t</mi><mo>−</mo><mfrac><msubsup><mi>τ</mi><mrow><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>s</mi><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><mi>ρ</mi><msub><mi>h</mi><mrow><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mi>Δ</mi><mi>t</mi></mtd></mtr></mtable></math>(27) Шаг по времени ∆t=τf в уравнениях (24)–(25) определяется условием устойчивости (23).Численные схемы (16)–(18) представлены в явном виде и могут быть легко распараллелены. В то же время численные схемы (24)–(25) сформулированы в неявном виде и могут быть решены с использованием алгоритма решения трёхдиагональных СЛАУ. Несмотря на существование параллельных алгоритмов решения трёхдиагональных СЛАУ, их программная реализация зачастую сопряжена со значительными трудностями. Вместе с тем из численных схем (24)–(25) следует, что вычисления могут быть легко распараллелены по направлениям x и y. В настоящем исследовании анализируется влияние числа точек дискретизации по координате z на время вычислений. При этом схемы (24)–(25) распараллеливаются по направлениям x и y, а вычисления по координате z выполняются последовательно. На рис. 3 представлена блок-схема параллельного алгоритма, отражающая последовательность вычислительных этапов и распределение задач между управляющим процессором (CPU) и графическим ускорителем (GPU). Вычислительное пространство OpenCL организуется в виде двумерной глобальной сетки потоков размером Nx × Ny, где каждый рабочий элемент (work-item) с индексами (i, j) непрерывно обрабатывает отдельную вертикальную колонку водных слоёв по координате z. Внутри каждого потока последовательно выполняются расчёт адресации в памяти GPU, формирование коэффициентов трёхдиагональной матрицы для неявных уравнений (24)–(25), а также прямой и обратный ход метода прогонки по глубине. Данная организация вычислений полностью устраняет необходимость межпотоковой синхронизации по вертикальной оси и обеспечивает эффективную прямую запись обновлённых компонент скорости u и v в глобальную память видеокарты. <center> <div class="preview fancybox" style="text-align: center;"><a title="Рисунок 3. Блок-схема параллельного алгоритма расчёта ветровых течений на GPU с декомпозицией по координатам x и y" href="/files/journals/130/articles/109025/supp/109025-229791-1-SP.jpg" rel="simplebox"><img style="max-height: 300px; max-width: 300px;" src="/files/journals/130/articles/109025/supp/109025-229791-1-SP.jpg"></a></div> </center> Рисунок 3. Блок-схема параллельного алгоритма расчёта ветровых течений на GPU с декомпозицией по координатам x и y Figure 3. Flowchart of the parallel GPU algorithm for wind-driven current simulation with decomposition along the x and ycoordinates Измерение времени работы алгоритмов проводилось с использованием высокоточных системных таймеров (std::chrono::high_resolution_clock). Для исключения эффектов инициализации библиотеки OpenCL, первичной компиляции кернелов и передач данных («разогрев» GPU/CPU) первый запуск каждого сценария не учитывался. Для каждой конфигурации выполнялось по 5 независимых запусков, после чего рассчитывалось среднее значение времени выполнения. Относительное стандартное отклонение (разброс) результатов замеров во всех экспериментах не превышало 1,5%, что говорит о высокой воспроизводимости измерений. Исходный код последовательного и параллельного алгоритмов доступен в работе [17]. <h3>Результаты</h3> Численные расчёты проводились при следующих значениях параметров: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo>=</mo><mn>1.2</mn><mo>×</mo><msup><mn>10</mn><mrow><mo>−</mo><mn>4</mn></mrow></msup><mtext> </mtext><msup><mi mathvariant="normal">с</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>g</mi><mo>=</mo><mn>9.81</mn><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">м</mi><mo>/</mo><msup><mi mathvariant="normal">с</mi><mrow><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msup></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>ρ</mi><mo>=</mo><mn>1025</mn><mtext> </mtext><mi>кг</mi><mo>/</mo><msup><mi mathvariant="normal">м</mi><mrow><mo>−</mo><mn>3</mn></mrow></msup></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>0.002</mn><mtext> </mtext><msup><mi>мс</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></math>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>μ</mi><mo>=</mo><mn>0.4</mn><mtext> </mtext><msup><mi mathvariant="normal">м</mi><mn>2</mn></msup><msup><mi mathvariant="normal">с</mi><mrow><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msup></math>, H = 260 м, L = 260 м, W = 260 м. Течения генерировались ветровым напряжением, направленным под углом 45∘ к осям x и y, при этом значения его компонентов составляли <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>τ</mi><mi>x</mi><mi>s</mi></msubsup><mo>=</mo><mn>1.5</mn><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">Н</mi><mtext> </mtext><msup><mi mathvariant="normal">м</mi><mrow><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msup></math>и <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msubsup><mi>τ</mi><mi>y</mi><mi>s</mi></msubsup><mo>=</mo><mn>1.5</mn><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">Н</mi><mtext> </mtext><msup><mi mathvariant="normal">м</mi><mrow><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msup></math>соответственно. Для оценки точности расчёта течений при различных шагах сетки использовались два варианта распределения расчётных узлов. В первом случае применялась равномерная сетка, содержащая Nz = 500 узлов вдоль координаты z. Во втором случае использовалось Nz = 40 узлов по координате с повышенным разрешением в поверхностном пограничном слое (σ = 0.002). По координатам x и y, применялась равномерная сетка с числом узлов Nx = 20 и Ny = 20 соответственно. Все расчёты выполнялись на центральном процессоре Intel Core i7 с тактовой частотой 3,6 ГГц и графическом процессоре NVIDIA GeForce GTX 670, содержащем 1344 вычислительных ядра и работающем на частоте 915 МГц. Сравнение профилей скорости, полученных на указанных двух типах сеток, представлено на рис. 4–5. Для количественной оценки точности решения на неравномерной сетке (Nz = 40) по сравнению с эталонным расчётом на равномерной сетке (Nz = 500) были рассчитаны среднеквадратичная относительная ошибка (28) и максимальная относительная ошибка (29): <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mtext>RMSE</mtext><mo>=</mo><mfrac><msqrt><mfrac><mn>1</mn><mi>N</mi></mfrac><msubsup><mstyle displaystyle="true"><mo>∑</mo></mstyle><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>N</mi></msubsup><msup><mfenced><mrow><msubsup><mi>U</mi><mi>k</mi><mfenced><mn>40</mn></mfenced></msubsup><mo>−</mo><msubsup><mi>U</mi><mi>k</mi><mfenced><mn>500</mn></mfenced></msubsup></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup></msqrt><mrow><mi>max</mi><mfenced><msup><mi>U</mi><mfenced><mn>500</mn></mfenced></msup></mfenced><mo>−</mo><mi>min</mi><mfenced><msup><mi>U</mi><mfenced><mn>500</mn></mfenced></msup></mfenced></mrow></mfrac><mo>×</mo><mn>100</mn><mi>%</mi></math>(28) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mtext>E</mtext><mtext>max</mtext></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><munder><mi>max</mi><mi>k</mi></munder><mfenced open="|" close="|"><mrow><msubsup><mi>U</mi><mi>k</mi><mfenced><mn>40</mn></mfenced></msubsup><mo>−</mo><msubsup><mi>U</mi><mi>k</mi><mfenced><mn>500</mn></mfenced></msubsup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>max</mi><mfenced><msup><mi>U</mi><mfenced><mn>500</mn></mfenced></msup></mfenced><mo>−</mo><mi>min</mi><mfenced><msup><mi>U</mi><mfenced><mn>500</mn></mfenced></msup></mfenced></mrow></mfrac><mo>×</mo><mn>100</mn><mi>%</mi></math>(29) При расчёте этих погрешностей значения профилей скорости на неравномерной сетке (Nz = 40) были сопоставлены со значениями на равномерной сетке (Nz = 500) с использованием линейной интерполяции в соответствующих узлах по глубине. Результаты сравнения для всех шести рассмотренных профилей скорости представлены в табл. 1. Таблица 1. Количественная оценка расхождения профилей скорости (u, v) на неравномерной (Nz = 40) и эталонной равномерной (Nz = 500) сетках в разные моменты времени Table 1. Quantitative assessment of the discrepancy between velocity profiles (u, v) on non-uniform uniform (Nz = 40) and reference uniform (Nz = 500) grids at different time points <table> <thead> <tr> <td style="text-align: center;"> Рисунок Figure </td> <td style="text-align: center;"> Момент времени Time </td> <td style="text-align: center;"> Компонента Component </td> <td style="text-align: center;"> Среднеквад. относит. ошибка, % Root mean square relative error, % </td> <td style="text-align: center;"> Макс. относит. ошибка, % Maximum relative error, % </td> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td> Рис. 4 Fig 4 </td> <td style="text-align: center;"> 1 ч 40 мин 1 h 40 min </td> <td style="text-align: center;"> u </td> <td style="text-align: center;"> 0,31 </td> <td style="text-align: center;"> 0,76 </td> </tr> <tr> <td> Рис. 5 Fig 5 </td> <td style="text-align: center;"> 1 ч 40 мин 1 h 40 min </td> <td style="text-align: center;"> v </td> <td style="text-align: center;"> 0,52 </td> <td style="text-align: center;"> 1,23 </td> </tr> <tr> <td> Рис. 4 Fig 4 </td> <td style="text-align: center;"> 6 ч 40 мин 6 h 40 min </td> <td style="text-align: center;"> u </td> <td style="text-align: center;"> 0,32 </td> <td style="text-align: center;"> 0,67 </td> </tr> <tr> <td> Рис. 5 Fig 5 </td> <td style="text-align: center;"> 6 ч 40 мин 6 h 40 min </td> <td style="text-align: center;"> v </td> <td style="text-align: center;"> 0,3 </td> <td style="text-align: center;"> 0,79 </td> </tr> <tr> <td> Рис. 4 Fig 4 </td> <td style="text-align: center;"> 15 ч 15 h </td> <td style="text-align: center;"> u </td> <td style="text-align: center;"> 0,25 </td> <td style="text-align: center;"> 0,56 </td> </tr> <tr> <td> Рис. 5 Fig 5 </td> <td style="text-align: center;"> 15 ч 15 h </td> <td style="text-align: center;"> v </td> <td style="text-align: center;"> 0,58 </td> <td style="text-align: center;"> 1,33 </td> </tr> </tbody> </table> Видно, что точность расчётов на неравномерной сетке с Nz = 40 сопоставима с точностью, достигаемой на равномерной сетке с Nz = 500. Таким образом, использование неравномерной сетки с Nz = 40 является более целесообразным по сравнению с равномерной сеткой с Nz = 500. <center> <div class="preview fancybox" style="text-align: center;"><a title="Рисунок 4. Профили компоненты скорости u (м/с) по глубине в точке x = 130 м, y = 130 м" href="/files/journals/130/articles/109025/supp/109025-229792-1-SP.jpg" rel="simplebox"><img style="max-height: 300px; max-width: 300px;" src="/files/journals/130/articles/109025/supp/109025-229792-1-SP.jpg"></a></div> </center> Рисунок 4. Профили компоненты скорости u (м/с) по глубине в точке x = 130 м, y = 130 м Figure 4. Depth profiles of the velocity component u (m/s) at the point x = 130 m, y = 130 m <center> <div class="preview fancybox" style="text-align: center;"><a title="Рисунок 5. Профили компоненты скорости v (м/с) по глубине в точке x = 130 м, y = 130 м" href="/files/journals/130/articles/109025/supp/109025-229793-1-SP.jpg" rel="simplebox"><img style="max-height: 300px; max-width: 300px;" src="/files/journals/130/articles/109025/supp/109025-229793-1-SP.jpg"></a></div> </center> Рисунок 5. Профили компоненты скорости v (м/с) по глубине в точке x = 130 м, y = 130 м Figure 5. Depth profiles of the velocity component v (m/s) at the point x = 130 m, y = 130 m На рис. 4–5 красная линия – неравномерная сетка (Nz = 40, t = 1 ч 40 мин), синие точки – эталонная равномерная сетка (Nz = 500, t = 1 ч 40 мин), фиолетовые штрихи – неравномерная сетка (Nz = 40, t = 6 ч 40 мин), зеленые квадраты – эталонная равномерная сетка (Nz = 500, t = 6 ч 40 мин), черные штрихи с точками – неравномерная сетка (Nz = 40, t = 15 ч), коричневые ромбы – эталонная равномерная сетка (Nz = 500, t = 15 ч). Figure 4–5. The red line represents the non-uniform grid (Nz = 40, t = 1 h 40 min), the blue dots represent the reference uniform grid (Nz = 500, t = 1 h 40 min), the purple dashes represent the non-uniform grid (Nz = 40, t = 6 h 40 min), the green squares represent the reference uniform grid (Nz = 500, t = 1 h 40 min), the black dash-dotted line represents the non-uniform grid (Nz = 40, t = 15 h), and the brown diamonds represent the reference uniform grid (Nz = 500, t = 15 h). На рис. 6 представлено сравнение времени решения задачи на равномерной сетке с при использовании CPU и GPU. Для данной сетки вычисления на GPU выполнялись в 23 раза быстрее, чем на CPU. <center> <div class="preview fancybox" style="text-align: center;"><a title="Рисунок 6. Зависимость времени вычислений (сек) от количества итераций на равномерной сетке (Nz = 500)" href="/files/journals/130/articles/109025/supp/109025-229794-1-SP.jpg" rel="simplebox"><img style="max-height: 300px; max-width: 300px;" src="/files/journals/130/articles/109025/supp/109025-229794-1-SP.jpg"></a></div> </center> Рисунок 6. Зависимость времени вычислений (сек) от количества итераций на равномерной сетке (Nz = 500) Figure 6. Dependence of computation time (s) on the number of iterations for the uniform grid (Nz = 500) На рис. 7 представлено сравнение времени решения задачи на неравномерной сетке с при использовании CPU и GPU. Для данной сетки вычисления на GPU выполнялись в 13 раз быстрее, чем на CPU. <center> <div class="preview fancybox" style="text-align: center;"><a title="Рисунок 7. Зависимость времени вычислений (сек) от количества итераций на неравномерной сетке (Nz = 40)" href="/files/journals/130/articles/109025/supp/109025-229795-1-SP.jpg" rel="simplebox"><img style="max-height: 300px; max-width: 300px;" src="/files/journals/130/articles/109025/supp/109025-229795-1-SP.jpg"></a></div> </center> Рисунок 7. Зависимость времени вычислений (сек) от количества итераций на неравномерной сетке (Nz = 40) Figure 7. Dependence of computation time (s) on the number of iterations for the non-uniform grid (Nz = 40) На рис. 6–7 сплошная красная линия – CPU (Intel Core i7), штриховая синяя линия – GPU (NVIDIA GeForce GTX 670). In Figs. 6–7, the solid red line represents the CPU (Intel Core i7), while the dashed blue line represents the GPU (NVIDIA GeForce GTX 670) <h3>Обсуждение</h3> Полученное ускорение (23× для равномерной сетки, 13× для неравномерной) согласуется с известными результатами применения GPU в гидродинамике, где типичный выигрыш составляет 10–50× в зависимости от размера сетки и архитектуры. Важно отметить, что для неравномерной сетки с 40 слоями ускорение ниже, но это компенсируется меньшим объёмом вычислений и сохранением точности в поверхностном слое, что критично для моделирования разливов. Различие в коэффициентах ускорения на сетках Nz = 500 (23 x) и Nz = 40 (13 x) обусловлено балансом между объёмом вычислений и фиксированными накладными расходами параллельной среды. При решении СЛАУ методом прогонки вдоль вертикали количество арифметических операций на один рабочий элемент напрямую пропорционально Nz. Количественный анализ структуры времени выполнения показывает следующий баланс составляющих: На мелкой сетке (Nz = 500) чистые вычисления на GPU занимают около 97% времени шага, а накладные расходы OpenCL (вызов кернелов, синхронизация и передача граничных условий) – не более 3%. Вычислительные блоки GPU работают с высокой степенью загрузки, эффективно маскируя задержки обращения к глобальной памяти (latency hiding); На редкой сетке (Nz = 40) объём вычислений в одном потоке сокращается в 12,5 раз, в результате чего доля неизменных накладных расходов на управление и передачу данных возрастает до ≈ 40% от общего времени шага. Кроме того, малая длина цикла прогонки (Nz = 40) не позволяет полностью утилизировать пропускную способность видеопамяти. В результате фиксированные задержки интерфейса OpenCL и шины PCIe оказывают определяющее влияние на итоговое время, снижая относительный выигрыш GPU по сравнению с CPU. Использование OpenCL обеспечивает переносимость на различные GPU и даже на кластеры, что расширяет область применения. Однако явный шаг по времени (ограниченный условием Куранта) остаётся узким местом. В перспективе целесообразно перейти к полностью неявным схемам, позволяющим увеличить шаг до часов, что ещё больше повысит эффективность. Следует отметить, что тестовые расчёты проводились в прямоугольной области с плоским дном и постоянным ветровым воздействием. Использование такого идеализированного сценария является общепринятым подходом для верификации численных схем и измерения чистого ускорения (speedup) на GPU. Переход к реальным физико-географическим условиям (батиметрия Каспийского моря, береговая линия и переменное ветровое поле) не снизит эффективности параллельного алгоритма. В рамках используемой -системы координат переменная глубина H(x, y) учитывается через коэффициенты и не меняет структуру трёхдиагональных матриц. Учёт береговой линии посредством маскирования суши (land masking) сокращает количество активных расчётных узлов, что положительно скажется на времени счёта, а обновление ветра требует незначительных вычислительных затрат уровня O(NxNy) по сравнению с 3D-блоком O(NxNyNz). <h3>Заключение</h3> В данной работе численное моделирование ветровых течений в море проводилось на равномерной и неравномерной сетках с использованием CPU и GPU. Поскольку глубина моря относительно невелика – около 100 м – по сравнению с горизонтальными размерами расчётной области по осям x и y, число вычислительных узлов по оси z также меньше, чем по направлениям x и y. Как подтверждают полученные результаты, для решения трёхдиагональных СЛАУ более эффективным является применение последовательного алгоритма, а не параллельного. Кроме того, результаты показали, что ускорение вычислений было выше для равномерной сетки с чем для неравномерной сетки с . При решении более сложных моделей возникает необходимость применения неявных схем, позволяющих использовать более крупные шаги по времени. Полученные неявные разностные уравнения могут решаться как прямыми методами, например, посредством решения трёхдиагональных СЛАУ, использованного в настоящей работе, так и итерационными методами. Преимущество прямых методов заключается в их вычислительной эффективности при любых начальных и граничных условиях. Оценка времени вычислений (менее 1 ч на 24-часовой прогноз) получена для базового модельного сценария и характеризует высокую вычислительную эффективность разработанного параллельного ядра. Это демонстрирует перспективность использования предложенной схемы в составе оперативных систем гидродинамического прогнозирования после её интеграции с модулями реальной батиметрии и пространственно-временной изменчивости метеополей. <h3>ДОПОЛНИТЕЛЬНО</h3> Источник финансирования. Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Республики Казахстан (грант № BR24992964). Конфликт интересов. Авторы декларируют отсутствие явных и потенциальных конфликтов интересов, связанных с публикацией настоящей статьи. Благодарности. Авторы выражают искреннюю благодарность Министерству науки и высшего образования Республики Казахстан за поддержку исследования, выполненного в рамках проекта BR24992964 «Разработка интегрированных энергосберегающих технологий для обеспечения экологической устойчивости и эффективной морской деятельности в казахстанском секторе Каспийского моря». Вклад авторов. Все авторы подтверждают соответствие своего авторства международным критериям ICMJE (все авторы внесли существенный вклад в разработку концепции, проведение исследования и подготовку статьи, прочли и одобрили финальную версию перед публикацией). Наибольший вклад распределён следующим образом: Кудайкулов А.А. – концепция и дизайн исследования, написание черновика; Аманжолов Т.Е. – разработка численных алгоритмов, программирование на OpenCL; Алиулы А. – проведение расчётов, анализ данных; Сейтов А.Н. – подготовка графических материалов; Асылбеков Б.К. – консультации по гидродинамике; Кульджабеков А.Б. – руководство проектом, редактирование; Шабилов С.М. – верификация результатов; Байымбетов Д.Б. – адаптация к задачам нефтяных разливов; Сырлыбеккызы С. – экологическая интерпретация; Калтаев А.Ж. – литературный обзор. <h3>ADDITIONAL INFORMATION</h3> Funding source. This research was funded by the Ministry of Science and Higher Education of the Republic of Kazakhstan (Grant No. BR24992964). Competing interests. The authors declare that they have no competing interests. Acknowledgements. The authors express their sincere gratitude to the Ministry of Science and Higher Education of the Republic of Kazakhstan for supporting this research, which was conducted within the framework of Project BR24992964, “Development of Integrated Energy-Saving Technologies to Ensure Environmental Sustainability and Efficient Marine Activities in the Kazakh Sector of the Caspian Sea.” Authors’ contribution. All authors made a substantial contribution to the conception of the work, acquisition, analysis, interpretation of data for the work, drafting and revising the work, final approval of the version to be published and agree to be accountable for all aspects of the work. The greatest contribution is distributed as follows: Aziz A. Kudaikulov – conceptualization and study design, writing of the original draft; Tannur Ye. Amanzholov – development of numerical algorithms, OpenCL programming; Abdurashid Aliuly – conducting calculations, data analysis; Abzal N. Seitov – preparation of graphical materials; Bakytzhan K. Assilbekov – consultations on hydrodynamics; Alibek B. Kuldzhabekov – project leadership, editing; Spartak M. Shabilov – validation of results; Dinmukhammed B. Baimbetov – adaptation to oil spill forecasting applications; Samal Syrlybekkyzy – environmental interpretation; Aidarkhan Zh. Kaltayev – literature review. <a href="#_ftnref1" name="_ftn1">[1]</a> ECMWF ERA-15 – это первый проект глобального реанализа атмосферы, который выполнил <a href="https://www.ecmwf.int/">ECMWF</a> (англ. European Centre for Medium-Range Weather Forecasts – Европейский центр среднесрочных прогнозов погоды) для сбора и уточнения исторических метеоданных за период с декабря 1978 г. по февраль 1994 г.

trade.gov [интернет]. Energy Information Administration. Oil and Gas – Kazakhstan: Explore oil and gas export opportunities and the regulatory environment in Kazakhstan [дата обращения 01.06.2026]. Режим доступа: www.trade.gov/energy-resource-guide-oil-and-gas-kazakhstan?anchor=content-node-t7-field-lp-region-2-1.

ncoc.kz [интернет]. NCOC. Отчет об устойчивом развитии за 2022 год [дата обращения 01.06.2026]. Режим доступа: www.ncoc.kz/ru/sustainability/2022/reports.

Davies A.M. Application of a sigma coordinate sea model to the calculation of wind-induced currents // Continental Shelf Research. 1985. Vol. 4, Issue 4. P. 389–423. doi: 10.1016/0278-4343(85)90002-0.

Elliott A.J. Shear diffusion and the spread of oil in the surface layers of the North Sea // Deutsche Hydrographische Zeitschrift. 1986. Vol. 39. P. 113–137. doi: 10.1007/BF02408134.

Davies A.M., Stephens C.V. Comparison of the finite difference and Galerkin methods as applied to the solution of the hydrodynamic equations // Applied Mathematical Modelling. 1983. Vol. 7, Issue 4. P. 226–240. doi: 10.1016/0307-904X(83)90076-8.

Zuur E.A.H., Dietrich D.E. The SOMS model and its application to Lake Neuchatel // Aquatic Sciences. 1990. Vol. 52, No. 2. P. 115–129.

Korotenko K., Bowman M.J., Dietrich D.E. High-Resolution Numerical Model for Predicting the Transport and Dispersal of Oil Spilled in the Black Sea // Terrestrial, Atmospheric and Oceanic Sciences. 2010. Vol. 21, No. 1. P. 123–136. doi: 10.3319/TAO.2009.04.24.01(IWNOP).

Korotenko K., Bowman M.J., Dietrich D.E. Modeling of the circulation and transport of oil spills in the Black Sea // Oceanology. 2003. Vol. 43, No. 4. P. 367–378.

Ibrayev R.A. Model of enclosed and semi enclosed sea hydrodynamics // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2001. Vol. 16, No. 4. P. 291–304.

10.

Ibrayev R.A., Ozsoy E., Schrum C., Sur H.I. Seasonal variability of the Caspian Sea three dimensional circulation, sea level and air sea interaction // Ocean Science. 2010. Vol. 6, Issue 1. P. 311–329. doi: 10.5194/os-6-311-2010.

11.

Blumberg A.F., Mellor G.L. A Description of a three dimensional coastal ocean circulation model // Coastal and Estuarine Sciences. 1987. Vol. 4. P. 1–16. doi: 10.1029/co004p0001.

12.

Mellor G.L. On the two components of wind driven ocean surface stress with extension to scalar fluxes // Ocean Dynamics. 2019. Vol. 69. P. 43–50. doi: 10.1007/s10236-018-1228-7.

13.

Mellor G.L. On theories dealing with the interaction of surface waves and ocean circulation // Journal of Geophysical Research: Oceans. 2016. Vol. 121, No. 7. P. 4474–4486. doi: 10.1002/2016JC011768.

14.

Korotenko K., Osadchiev A., Melnikov V. Mesoscale Eddies in the Black Sea and Their Impact on River Plumes: Numerical Modeling and Satellite Observations // Remote Sensing. 2022. Vol. 14, No. 17. doi: 10.3390/rs14174149.

15.

16.

khronos.org [интернет]. Khronos Group. 16. OpenCL Homepage [дата обращения 01.06.2026]. Режим доступа: www.khronos.org/opencl/.

17.

GitHub.com [интернет]. GitHub repository. Oil Transport in Caspian Sea [дата обращения: 01.06.2026]. Доступ по ссылке: github.com/azizka85/oil_trans_in_caspian_sea.